Le grand mystère des Mathématiques

Le grand mystère des Mathématiques

Le grand mystère des Mathématiques

Omniprésentes dans les sciences et les technologies, les mathématiques sont-elles une invention ou une découverte, une science propre à l’humanité ou le langage même de l'univers ?

Une enquête vertigineuse et originale au cœur d'un débat fascinant qui dure depuis l'Antiquité.

Omniprésentes dans les sciences et les technologies, les mathématiques sont parvenues à décrypter les orbites elliptiques des planètes, à prédire la découverte du boson de Higgs ou à faire atterrir le robot Curiosity sur Mars.

De tout temps, l’homme, en quête de cycles et de motifs, les a utilisées pour explorer le monde physique et pour comprendre les règles de la nature, du nombre de pétales de fleurs (répondant à des "suites") à la symétrie de notre corps.

 

La réalité possède-t-elle une nature mathématique inhérente ou les mathématiques sont-elles des outils précieux créés par l’esprit humain ?

Voyage visuel Depuis l’Antiquité grecque, leur universalité et leur efficacité ont nourri débats philosophiques et métaphysiques. Sur les traces de Pythagore (qui avait notamment établi des liens entre mathématiques et musique), Platon, Galilée, Newton ou Einstein, le film, ludique, sonde leur fascinant mystère et leur évolution au fil des siècles, en compagnie de Mario Livio, astrophysicien américain renommé, et de nombreux mathématiciens, physiciens et ingénieurs.

Une enquête captivante, formidablement illustrée d’exemples, en même temps qu’un voyage visuel vertigineux.

Entre construction neuronale et ordre cosmique, à la frontière de l’invention et de la découverte, les mathématiques, extraordinaire énigme, n’ont pas fini de révéler, d’anticiper et de surprendre.

Machine Turing

Machine Turing

MACHINE TURING

Quoique son nom de « machine » puisse conduire à croire le contraire, une machine de Turing est un concept abstrait, c'est-à-dire un objet mathématique. Une machine de Turing comporte les éléments suivants :

  1. un ruban infini divisé en cases consécutives. Chaque case contient un symbole parmi un alphabet fini. L'alphabet contient un symbole spécial appelé « symbole blanc » ('0' dans les exemples qui suivent), et un ou plusieurs autres symboles. Le ruban est supposé être de longueur infinie vers la gauche ou vers la droite, en d'autres termes la machine doit toujours avoir assez de longueur de ruban pour son exécution. On considère que les cases non encore écrites du ruban contiennent le symbole « blanc » ;
  2. une tête de lecture/écriture qui peut lire et écrire les symboles sur le ruban, et se déplacer vers la gauche ou vers la droite du ruban ;
  3. un registre d'état qui mémorise l'état courant de la machine de Turing. Le nombre d'états possibles est toujours fini, et il existe un état spécial appelé « état de départ » qui est l'état initial de la machine avant son exécution ;
  4. une table d'actions qui indique à la machine quel symbole écrire sur le ruban, comment déplacer la tête de lecture (par exemple « G » pour une case vers la gauche, « D » pour une case vers la droite), et quel est le nouvel état, en fonction du symbole lu sur le ruban et de l'état courant de la machine. Si aucune action n'existe pour une combinaison donnée d'un symbole lu et d'un état courant, la machine s'arrête.

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Turing_Machine : Vue d’artiste d’une machine de Turing ː un ruban infini muni d'une tête de lecture/écriture. La machine dispose également d'une table de transition, non représentée sur l'image.

Naissance des Idées By Cédric Villani

Naissance des Idées By Cédric Villani

NAISSANCE DES IDÉES BY CÉDRIC VILLANI

Cédric Villani est un mathématicien de renommée mondiale, l’un des meilleurs spécialistes des équations de la théorie cinétique des gaz et des plasmas, et du transport optimal. Ancien élève de l’École normale supérieure de Paris, il a reçu en 2010 la Médaille Fields, la plus prestigieuse des récompenses du monde mathématique. Après avoir occupé des postes à Atlanta, Berkeley et Princeton et à l’École normale supérieure de Lyon de 2000 à 2009, il est actuellement professeur à l’Université de Lyon et directeur de l’Institut Henri Poincaré à Paris. Vulgarisateur scientifique hors pair, il aime partager sa passion avec enthousiasme et humour.

Il est très difficile de prédire l’avenir, même à l’horizon 2030, nous prévient d’emblée Cédric Villani.

« La prédiction est difficile, surtout quand il s’agit de l’avenir »

En 1900, Henri Poincaré, interrogé sur la science au 20e siècle, déclarait : « Vous me demandez comment sera la science du 20e siècle ? Je crois que l’on fera des découvertes surprenantes. Je n’en dirai pas plus, précisément parce qu’elles seront surprenantes. »

Provoquant des rires dans l’assistance, Cédric explique qu’il pourrait s’arrêter la et dire que sa tache est remplie après avoir reprit Poincaré, 100 ans après sa mort.

Pourtant Cédric Villani veut aller plus loin. Précisément puisque l’on fera des découvertes surprenantes, c’est qu’on aura des idées ingénieuses. Or, les idées peuvent changer le monde !

Comment naît une idée ?

La naissance d’une idée est une aventure, que l’on poursuit selon un chemin tortueux, avec des rebonds, des hauts et des bas. Les périodes de travail intenses sont faites d’illumination et de déception jusqu’au jour de l’éclosion de l’idée.

Poincaré dit que face a une difficulté, on progresse parfois par un travail acharné, parfois par une illumination soudaine et imprévisible, lors d’une promenade en autobus ou le long d’une falaise.

Cédric Villani s’adresse alors aux jeunes de l’audience : « Quand vous avez un devoir de mathématique rebelle à terminer, et que vos copains vous attendent pour faire la fête en boite de nuit, essayez auprès de vos parents la méthode Poincaré !

Le cerveau du mathématicien raisonne par des approximations, des analogies, des émotions ! Parce que c’est rapide, et qu’a l?époque ou nous devions réagir vite pour sauver notre vie, les émotions fonctionnaient mieux que tout.

Si les idées sont si importantes, il faut les étudier ! Quelle est la recette pour faire une idée?

Bien-sûr il vous faut un cerveau en bon état de fonctionnement, mais aussi de nombreux ingrédients.

– De la documentation, des sources d’information.

– De la motivation !


Un environnement de vie propice. Par exemple une ville ou il fait bon étudier, un environnement qui vous inspire, qui est chargé d’histoire.

– Les échanges, les contacts avec les autres. La transmission des valeurs et des idées. Il faut des échanges pour démarrer des projets, il en faut aussi pour les faire progresser…

– Les contraintes, la contrainte comme élément de création comme le fameux roman de George Perec sans la lettre « E »

– Le travail un dosage savant de travail dur et d’illumination inexpliquée.

– Enfin, le dernier ingrédient : La persévérance et la chance. La plupart des idées ne marche pas. A peine 1% des brevets s’avéreront rentables. C’est le phénomène de la corbeille à papier.

Enfin la mission ne sera complète que si l’on peut partager les idées, les publier, les présenter librement, ce qui fait débat actuellement. Pour le bien et le mal, la grande idée est limitée par les habitudes humaines.

Publications :

VILLANI Cédric. Théorème vivant*. *Grasset, 2012.

VILLANI Cédric. Optimal Transport, Old and New. Springer-Verlag, 2008.

VILLANI Cédric. Topics in Optimal Transport. American Mathematical Society, 2003.
Source : TEX

 

Le mystère des Nombres Premiers

Le mystère des Nombres Premiers

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Le mystère des nombres premiers

Connus depuis l’antiquité, les nombres premiers ne restent pas moins encore un mystère des mathématiques aujourd’hui. Si l’on sait (depuis l’arithmétique d’Euclide) qu’il en existe une infinité, on ne sait toujours pas rapidement décider si un nombre est premier, surtout si celui-ci est très grand.

Les applications des nombres premiers sont nombreuses, tant en mathématiques qu’en informatique, et incluent notamment la cryptographie à clé publique (également appelée cryptographie asymétrique), utilisée en particulier pour le paiement sécurisé sur Internet !

Le plus grand nombre premier jamais trouvé a été obtenu le 7 janvier 2016. Il s’agit du nombre 274 207 281-1.

Si on l’écrivait en notation décimale classique, il ferait… 22 millions de chiffres ! Il s’agit d’un nombre dit de Mersenne, car qui s’écrit sous la forme 2n-1, où n est lui-même un nombre premier. Ce nombre a été obtenu grâce au programme informatique de découverte de nombres premiers GIMPS : il s’agit d’un programme distribué, installé sur de nombreux ordinateurs dans le monde entier, et qui calculent de façon intensive pour découvrir de nouveaux nombres premiers.

Ce programme implémente le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne.

Alan Turing, Le génie mathématicien qui a décrypté les codes secrets nazis et inventé l’ordinateur

Alan Turing, Le génie mathématicien qui a décrypté les codes secrets nazis et inventé l’ordinateur

Alan Turing Ou Comment Les Maths Ont Vaincu Hitler, Turing, l'homme qui cassait les codes

Alan Turing est sorti petit à petit de l'anonymat pour être élevé au rang de génie et de martyr de la lutte pour les droits des homosexuels.

Cette année, on va beaucoup parler de Bletchley Park, à Milton Keynes (Buckinghamshire). Ce manoir de style victorien, planté au milieu d'un parc de 22 hectares, abrite le Musée national de l'informatique. Soit. Mais, en 1938, le site appartient au MI6, le service du renseignement extérieur du Royaume-Uni, qui y installe pendant la guerre le Government Code and Cypher School, organisme chargé du décryptage des codes des puissances de l'Axe : le IIIe Reich et l'Italie fasciste. C'est dans cette propriété so British que se déroule Le Bâton de Plutarque, le 23e album de Blake et Mortimer. Le tandem se frotte à Zhang Hasso, transfuge de l'Empire jaune, et au colonel Olrik, spécialiste des langues slaves et champion d'échecs. Des profils parfaits pour le décryptage. Mais, par saint George, ne nous égarons pas, dirait Blake.

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Wikimedia Commons

A Bletchley Park, en 1940, l'adversaire s'appelle Enigma, la machine à chiffrer employée par l'armée de terre, la marine et l'aviation allemandes : une simple machine à écrire portative, équipée d'un clavier. Mais lorsque l'opérateur tape une lettre, c'est une lettre de substitution qui apparaît, et celle-ci varie à chaque frappe. Ainsi, dans un même message, un a devient tour à tour unr, puis un c, puis un m... Les premières versions d'Enigma ont été cassées avant les hostilités par des mathématiciens et des ingénieurs polonais, grâce à d'énormes engins surnommés les "bombes" pour leur puissant tic-tac.

Après la défaite de la Pologne, les Britanniques prennent le relais. Et un homme met au point une "superbombe" capable de décrypter les messages de plus en plus sophistiqués des Allemands : Alan Turing. Mais il n'est pas seul. Huit unités, réparties dans autant de "huttes", récoltent, prennent le relais. Et un homme met au point une "superbombe" capable de décrypter les messages de plus en plus sophistiqués des Allemands : Alan Turing.

 

 

 

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Donner de l'intelligence aux machines

Mais pourquoi ce site plutôt qu'un autre? "Cette petite ville d'une tristesse ordinaire se situe au centre géométrique de l'Angleterre intellectuelle, là où la ligne de chemin de fer de Londres bifurque pour Oxford et Cambridge", répond Andrew Hodges en nous guidant dans le musée. L'homme parle en connaisseur. Doyen du Wadham College, à Oxford, il est venu en voisin par le train. Il a écrit une biographie au titre fleurant bon le jeu de mots : Alan Turing: The Enigma, un texte qui vient d'être traduit en français dans son intégralité (1).

Alan Turing n'est pas seulement le champion du décryptage, poursuit-il. Après la guerre, il reprend son vieux rêve de "machine universelle" capable de traiter n'importe quel type de données. Nom du prototype : Automatic Computer Engine (ACE). En 1948, avec une équipe de Manchester, il fait fonctionner le premier ordinateur d'Europe. Mais il veut aller plus loin, fournir de l'intelligence aux engins.

Dans un article fracassant publié en 1950 dans la revue de philosophie Mind, il pose tout de go la question : "Les machines peuvent-elles penser ?" Sa réponse est plutôt oui. Esprit curieux de tout -logique, informatique, intelligence artificielle-, il consacre les dernières années de sa courte vie (quarante-deux ans) à la biologie du développement. Comment la matière prend-elle forme ? Pourquoi le motif en spirale de la suite de Fibonacci se retrouve-t-il dans la pomme de pin et dans la disposition des graines de la fleur de tournesol ? Pourquoi les léopards ont-ils des taches ? Bref, quel est le secret "des bases chimiques de la morphogenèse" ? Dans un ultime article paru en 1952, il conçoit un modèle permettant de mettre en équation l'apparition de ces formes. Depuis, des chimistes ont découvert des réactions obéissant à ces règles.

La grâce royale à titre posthume

Ce mathématicien génial, cet esprit universel méconnu -à l'exception des scientifiques- a enfin son heure de gloire avec un film hollywoodien, Imitation Game, de Morten Hyldum, avec le jeune Benedict Cumberbatch dans le rôle phare (sortie le 28 janvier). Un demi-siècle plus tard, le scénario insiste sur le suicide de Turing, à l'aide d'une pomme empoisonnée au cyanure, le 7 juin 1954. Il avait été condamné deux ans plus tôt à la castration chimique pour "outrage à la pudeur" : une relation sexuelle avec le jeune Arnold Murray (19 ans).

Après un long silence, Alan Turing est sorti petit à petit de l'anonymat pour être élevé au rang de génie et de martyr de la lutte pour les droits des homosexuels. En 1986, une pièce de théâtre jouée en Angleterre, Breaking the Code, puis sa version télévisée constituent les premières étapes de la réhabilitation. En 1999, Time le place parmi les 100 personnes les plus importantes du XXe siècle.

Dix ans plus tard, le Premier ministre britannique Gordon Brown présente ses excuses pour les poursuites exercées contre lui. Puis un hommage appuyé du président américain Barack Obama le range aux côtés de Newton et de Darwin, parmi les plus grands scientifiques britanniques. Ultime geste, en réponse à une pétition lancée par un informaticien, Elizabeth II lui accorde une grâce royale.

Quel chemin de croix pour ce fils d'un administrateur colonial de Madras, qui aura la délicatesse de mourir en 1947, douze jours avant l'indépendance accordée à l'Inde. Alan ne connaît pas les moussons. Dès son plus jeune âge, il est confié à un couple de Hastings, le colonel à la retraite Ward et son épouse, avant de fréquenter les internats. Le jeune homme est précoce. Il apprend à lire seul en moins d'un mois avec la méthode La Lecture sans larmes. Tout aussi rapide en calcul, il prend plaisir à se poster sous les lampadaires pour en déchiffrer les numéros de série. Mais, distinguant mal sa gauche de sa droite, il marque d'un point rouge son pouce gauche.

Fâché avec son corps

Il écrit comme un cochon. Il se débat avec des plumes qui bavent et ses cahiers sont couverts de pattes de mouche. "Turing le Cerveau" n'a jamais été en harmonie avec son corps, éprouvant de la peine à coordonner ses mouvements. S'il apprécie les terrains de football, c'est pour les lignes de touche : leur tracé lui inspire des problèmes de géométrie. Pourtant, à Cambridge, il pratique l'aviron, le rowing.

Alan passe pour un excentrique. A Bletchley, "sa bicyclette est un poème, poursuit le biographe, un défaut de mécanisme l'oblige à démarrer dans un pédalage effréné pour que la chaîne ne déraille pas". Il attache sa tasse de thé au tuyau du radiateur avec un cadenas à combinaisons. Il se moque de son allure. Une ficelle retient ses pantalons et il porte souvent une veste de pyjama sous sa veste de sport.

Pis, il éprouve des difficultés à s'exprimer. En butte à un exercice, il grogne. Il commence les phrases de sa voix haut perchée et saccadée, s'arrête net, comme absorbé par la recherche de la formulation idéale, puis il accouche d'une expression argotique ou d'une grivoiserie, d'un calembour, d'une comparaison a priori incongrue. Un jour, contesté sur son projet de "cerveau électronique", il interrompt brutalement son interlocuteur : "Le fait que le cerveau ait la consistance d'un porridge froid ne nous intéresse pas. Nous ne disons pas : "Cette machine est beaucoup trop dure pour être un cerveau, donc elle ne peut pas penser.""

La vie de cet enfant seul, séparé de ses parents ultramarins, a été marquée par un premier grand amour, platonique, avec Christopher Morcom, jeune homme blond et mince, d'un an son aîné, rejeton d'une famille aisée d'artistes et de scientifiques vivant dans un manoir aux allures de phalanstère. Les deux jeunes gens sont brillants et ils ont tous deux une passion pour les mathématiques et la science. Christopher entre au prestigieux Trinity College, à Cambridge.

La séparation est douloureuse. Elle l'est encore plus lorsqu'il est emporté par la tuberculose, à 19ans. Alan engage une correspondance avec la mère du défunt, qui l'invite. Le jeune homme exige de dormir dans le sac de couchage de son ami. Doit-on conclure, comme Jean Lassègue, philosophe et auteur d'une biographie de Turing, que celui-ci s'est imposé le devoir d'incarner le destin scientifique promis à son très brillant ami?

Une machine capable d'appliquer un algorithme

Toujours est-il qu'en 1931 le boursier Turing se lance dans l'étude des mathématiques pures au King's College, à Cambridge. L'année suivante, il démontre un théorème résolu une seule fois, par un mathématicien polonais de haute volée, Vaclav Sierpinski. Cinq ans plus tard, il adresse à la Société mathématique de Londres un article sur l'un des problèmes majeurs des mathématiciens de l'époque, posé par David Hilbert : y a-t-il une méthode pour déterminer si un énoncé mathématique est vrai ou faux ? Sa réponse est : non. Pour y aboutir, il emprunte une étrange démarche. Il construit en pensée une machine composée d'un ruban et d'une tête pouvant lire et écrire sur ce ruban, capable de décrire un calcul complexe sous la forme d'opérations simples.

Cette "machine universelle" peut simuler n'importe quelle autre machine simple, à condition de lui fournir, sous forme codée, le programme à exécuter. Alan Turing vient tout bonnement d'inventer le concept d'ordinateur (computer, en anglais) : une machine qui reçoit un algorithme -un programme- et les données pour appliquer celui-ci. Dans la foulée, le jeune homme prépare un doctorat de logique mathématique à Princeton, aux Etats-Unis, où on lui propose un poste universitaire, mais il préfère retourner au pays. Par patriotisme.

Absorbé par ses travaux, il n'est pas insensible au monde. Il suit avec inquiétude les bouleversements en Europe. "J'espère que Hitler n'aura pas envahi l'Angleterre", écrit-il à sa mère. Nous sommes en 1938. A peine rentré, il est sollicité, avec d'autres collègues mathématiciens, ingénieurs, logiciens ou joueurs d'échecs, par les services de renseignement britanniques. Commence alors sa carrière de décrypteur à Bletchley Park.

Fan de Blanche-Neige et les sept nains

Dans la Cambridge d'avant guerre, l'homosexualité n'est plus tout à fait taboue. "Nous avons rejeté la moralité coutumière et la sagesse convenue, dit John Maynard Keynes, grand économiste et généreux mécène du King's College. Nous sommes, au sens strict, des immoraux." Circule le manuscrit de Maurice, le roman de Forster sur la manière de "ressembler de manière inavouable à Oscar Wilde". La prestigieuse université se divise alors entre "esthètes" et "athlètes". Mais Alan n'est pas mondain. Il n'est pas invité aux soirées et aux manifestations artistiques données sous les auspices du fameux groupe de Bloomsbury, de Virginia Woolf. "Sa liberté et son homosexualité lui importeront toujours plus que tout, et il en sera victime", résume Andrew Hodges.

Libre, il est, dégagé de toute contingence, étranger aux rapports de forces et à la courtisanerie. Mais il est aussi immature. A la Noël de 1934, Alan Turing (22 ans) demande à sa mère un ours en peluche. Il écoute avec assiduité les programmes pour enfants à la radio. La projection de Blanche-Neige et les sept nains, à Cambridge, en 1938, le plonge dans un abîme de perplexité. Il ne peut plus s'en passer, revoyant le film à chaque occasion. Il se plaît à chantonner le couplet fatal : "Plonge la pomme dans le bouillon / Que la mort qui endort s'y infiltre." Il s'interroge sur la couleur de la mort : la partie rouge ou verte du fruit ? Le 7 juin 1954, il a sans doute la réponse, mais il l'emporte dans la tombe.

(1) Alan Turing. Le génie qui a décrypté les codes secrets nazis et inventé l'ordinateur. Trad. de l'anglais par Nathalie Zimmermann et Sébastien Baert. Michel Lafon, 704p., 19€.

En savoir plus sur http://www.lexpress.fr/actualite/sciences/turing-l-homme-qui-cassait-les-codes_1638747.html#khzpeSMmEHYMyuvV.99

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Mathématiques, le Zéro a vieilli de 500 ans

Mathématiques, le Zéro a vieilli de 500 ans

LE ZÉRO A VIEILLI DE 500 ANS

L'université d'Oxford a identifié la plus vieille trace de l'usage du symbole zéro dans un manuscrit indien datant du 3e ou 4e siècle.

ZÉRO-MATHÉMATIQUES

Le manuscrit consiste en 70 feuilles d'écorce de bouleau. Image: DR/Oxford

Un point noir figurant dans un vieux manuscrit indien dont l'origine vient d'être située au 3e ou 4e siècle a été identifié par l'université d'Oxford comme la plus ancienne trace de l'usage du symbole zéro. Une découverte qui «vieillit» le zéro de 500 ans.

Manuscrit de Bakhshali

«Des scientifiques de la bibliothèque Bodleian de l'université d'Oxford ont utilisé la datation au carbone 14 pour remonter les origines du chiffre figurant dans le célèbre ancien manuscrit indien», appelé manuscrit de Bakhshali, a indiqué l'université dans un communiqué. «Le texte remonte au troisième ou quatrième siècle, ce qui en fait l'usage connu le plus ancien de ce symbole».

«Cette importante découverte permet de situer la naissance du 'zéro' (...) 500 ans plus tôt que les spécialistes ne le pensaient jusqu'à présent», a ajouté l'institution.

Le document contient «des centaines de zéros» symbolisés par un simple point noir représentant des ordres de grandeur dans l'ancien système numérique indien. C'est ce point qui a évolué pour devenir le symbole utilisé aujourd'hui à travers la planète.

Datation jusqu'alors contestée

Le premier usage du zéro était jusqu'ici rattaché à une inscription du IXe siècle figurant sur un temple de Gwalior, dans l'Etat indien du Madhya Pradesh. Le manuscrit de Bakhshali, considéré comme le plus vieux document mathématique indien et détenu par la bibliothèque Bodleian depuis 1902, avait été découvert en 1881, enterré dans un champ près du village de Bakhshali, situé en Inde à l'époque, au Pakistan aujourd'hui.

Consistant en 70 feuilles d'écorce de bouleau, sa datation était jusqu'ici contestée au sein de la communauté scientifique. (ats/nxp)

Source : https://www.lematin.ch/sante/sciences/zero-vieilli-500-ans/story/28016170

[cite]

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